Beispiel 2
(Das Zeitlimit für diese Aufgabe ist 2 Minuten)
Wieviele Kugeln vom Typ C wiegen genau gleich viel wie eine Kugel vom Typ A?
Lösung
Eine B-Kugel wiegt offenbar gleichviel, wie eine A und zwei C Kugeln zusammen. Wir schreiben einfach
B = A + 2 C
Weiters wiegen fünf A gleichviel wie drei B
5 A = 3 B
Setzen wir das Ergebnis für B von oben ein:
5 A = 3 (A + 2 C) = 3 A + 6 C
Subtrahiere 3 A auf beiden Seiten:
2 A = 6 C
Dividiere durch 2
A = 3 C
Eine Kugel vom Typ A wiegt genau gleich viel wie drei Kugeln vom Typ C.
Kommentar
Lineare Gleichungssysteme kann man offenbar in jedem Alter lösen. Das Schöne an diesem Problem ist, dass man die Lösungsmethode sozusagen handgreiflich vorführen kann. Die Waage ist ein Realmodell für eine mathematische Gleichung. Die Rechenschritte bei der Lösung dieser Gleichung sind direkt interpretierbar und durch Wägen nachvollziehbar:
Die erste Waage im Angabentext entspricht der Gleichung 5A = 3B.
Wir können jede der B-Kugeln in der rechten Waagschale durch eine A und zwei C Kugeln ersetzen, ohne das Gewicht in der rechten Waagschale zu verändern. Dann bekommen wir die Gleichung 5A = 3A + 6C - und die Waage ist noch immer im Gleichgewicht.
Wenn wir auf beiden Seiten drei A-Kugeln entfernen, ändern wir nichts am Gleichgewicht. Jetzt haben wir die Gleichung 2A = 6C.
Schließlich können wir noch auf beiden Seiten das Gewicht halbieren (indem wir die Anzahl gleichartiger Kugeln halbieren), ohne die Waage aus dem Gleichgewicht zu bringen. Wir erhalten schließlich die Gleichung
A = 3C.
An die Lösung der Aufgabe sollte man sofort die Frage anschließen: Kann man auch das Gewicht von B durch das Gewicht der C Kugeln ausdrücken?
Diskussion unmöglicher Waagenrätsel
Nicht alle Beziehungen zwischen Größen lassen sich mit einer Waage nachstellen. Es zahlt sich aus, mit den Kindern zu diskutieren, warum folgendes Bildpaar widersprüchlich ist:
Wir haben implizit folgende Tatsachen vorausgesetzt: (a) Gleich bezeichnete Kugeln haben gleiches Gewicht und (b) Gewichte sind immer positiv.
Die mathematische Lösung des Gleichungssystems 5A=3B und B=2A+C ist A=-3C.
Entweder ist A oder C negativ. Das Gleichungssystem hat also keine Lösung, die physikalisch akzeptabel ist.
Kinder entwerfen Aufgaben selbst
Sehr vielversprechend ist es, Kinder selbst solche Waagenrätsel zeichnen zu lassen. Beim Entwerfen der Aufgabe muss man den Lösungsweg mitdenken, wenn man entscheiden will, ob das gezeichnet Bild physikalisch möglich ist, oder einen Widerspruch enthält.
Auch sollte man diskutieren, warum Bruchzahlen durchaus akzeptable Lösungen ergeben. Man betrachte zum Beispiel folgende Aufgabe:
2B = 2A + C, also B = A + C/2, eingesetzt in
5A = 3B ergibt: 5A = 3A + 3C/2, oder
2A = 3C/2, also
A = (3/4) C
Man muss die C-Kugeln zerteilen, wenn man das durch Wägungen nachstellen will.
Mit zwei Wägevorgängen kann man drei unterschiedliche Gewichte vergleichen. Man lasse die Kinder Aufgaben mit drei Waagen und vier Gewichten A, B, C und D erfinden.
Worauf man noch aufmerksam machen sollte
Man sollte unbedingt klarmachen, dass es nicht möglich ist, mit einer Balkenwaage (also durch Gewichtsvergleich) irgendeines der Gewichte A, B, oder C selbst zu bestimmen. Man kann die Gewichte vergleichen (zB A=3C), aber man kann von keiner Kugel sagen, wie schwer sie ist. Es sei denn, eines der Gewichte ist schon bekannt.
Wenn die Kugel B die Masse ein Kilogramm hat, welche Masse haben dann die Kugeln A und C?
(Antwort: A= (3/5) B also 0,6 kg und C=(1/5) B also 0,2 kg)
Denksport
Wenn wir schon dabei sind, hier ist noch ein Rätsel für Erwachsene:
Man hat eine Balkenwaage und 12 gleich aussehende Kugeln. Elf dieser Kuglen sind wirklich identisch, eine Kugel ist aber ein wenig schwerer oder leichter. Wie kann man mit möglichst wenigen Wägungen herausfinden, welche Kugel die abweichende ist?
Im Internet findet man einiges dazu, wenn man zB nach "12 Kugel Problem", oder "odd-ball problem" googelt.