Beispiel 3

(Das Zeitlimit für diese Aufgabe ist 2 Minuten)

Robert, Alice und Karl zählen den Inhalt ihrer Geldbörsen. Robert und Alice haben zusammen 17 Euro. Alice und Karl haben gemeinsam 20 Euro. Robert und Karl haben zusammen 23 Euro. Wieviel Geld hat jeder einzeln?

Lösung

Wir führen die Abkürzungen R, A, und K für die Euro-Beträge von Robert, Alice und Karl ein.
Aus der Angabe entnehmen wir
R + A = 17
A + K = 20
R + K = 23

Lösung durch Elimination:
Wir können zum Beispiel die ersten beiden Gleichungen subtrahieren und erhalten
R - K = -3
Addieren wir dazu die letzte Gleichung, fällt K raus und wir erhalten 2 R = 20 oder R = 10. Setzen wir in der letzten Gleichung R = 10 ein, erhalten wir K = 13 und aus der ersten oder zweiten Gleichung folgt sofort, dass A = 7 ist.

Eine “geniale” Lösungsmethode wäre folgende:
Addieren wir alle drei Gleichungen, erhalten wir
2R + 2A + 2K = 17 + 20 + 23 = 60
und daraus das gemeinsame Vermögen der drei Personen:
R + A + K = 30
Wenn wir davon den gemeinsamen Besitz von je zweien subtrahieren, erhalten wir den Geldbetrag der jeweils dritten Person: Zum Beispiel (R+A+K) - (R+A) = K, oder
30 - 17 = K = 13
30 - 20 = R = 10
30 - 23 = A = 7

Kommentar

Wieder ein lineares Gleichungssystem, das den 12-Jährigen hier zugemutet wird. Jemand, der diese Aufgabe lösen soll, wird vielleicht fragen: Warum zählt nicht einfach jeder sein eigenes Geld?

Wie auch immer, die daraus zu ziehende Lehre ist folgende: Wenn man von drei Zahlen nur die Paarsummen kennt, kennt man auch die Zahlen selbst.

Die zweite angegebene Lösungsmethode ist die geniale Methode für einen Nachwuchs-Gauss. Man könnte Schüler/innen auf die richtige Spur bringen, wenn man die Frage stellt, wieviel Geld alle drei gemeinsam haben. Hat man die Gesamtsumme, muss man nur noch die angegebenen Paarsummen davon subtrahieren, um die gesuchten Einzelbeträge R, A, K zu bekommen.